林钦裕  汕头市潮南区司马浦中学

函数，在整个高中数学知识体系里面是一个不能避免的话题。从知识的结构来看，函数是一个高度概括的数学概念，它本身并没有太多复杂的知识点，但它却是其他很多知识如导数、不等式等的基础。而且在高考中，函数会经常结合其他知识如三角函数、圆锥曲线、数列、不等式等一起构成综合型题目，通常都是难度比较大的，在解题的过程中，函数本身的性质和特点很多时候都发挥了较大的作用，主要是单调性（包括单调区间、最值等），甚至可以说函数是解题的最重要的基础。

以函数与不等式结合的题目为例，两个含参数的函数h(x) ≥g(x)在某区间里恒成立求参数的取值范围等，通常都需要我们求出该区间里h(x)的最小值m和g(x)最大值n，然后使得m≥n再来求参数的范围。这些问题最终还是需要用函数的知识来求解。

因此，函数被誉为高中数学体系里最重要的知识，是最重要的基础。而所谓函数的知识主要包括三大知识点：函数的概念和性质、常用基本函数、函数的应用。而这三大知识点都有一个共同点，就是他们都跟函数的图像有着紧密的联系。

函数的概念和性质，即函数的定义域跟值域这两个属性和函数的周期性、单调性（包括最值）、奇偶性这三个基本性质，这些都可以用函数图像直观地展现出来，尤其是函数的单调性和最大最小值，图像展示得非常清楚。

常用基本函数，即二次函数以及更高次函数，还有对数函数、指数函数和幂函数这三个初等基本函数。二次函数，包括对称轴、开口方向、最大最小值、单调区间等都可通过图像清晰呈现出来，而对于更高次函数，只要我们通过因式分解，利用数轴穿根法（数轴从右往左看，从上往下画，次数为奇数穿过数轴、为偶数不穿过数轴），同样也可以直接看出根的个数和分布等函数的相关特点。至于三个初等基本函数，它们的各个性质（包括定义域、值域、单调性、定点等）也都在图像中有体现甚至用图像可以方便学生的记忆。

函数的应用，即函数与方程的结合（主要是零点的相关知识），它本身就是利用图像得到根与零点的关系和零点存在定理，在研究零点个数及分布等相关问题的时候，更加需要图像作为辅助工具。

函数图像不仅在这些关于函数的知识当中大有作用，具体到函数的题目当中，纯粹函数题目也好，函数结合其他知识的也好，函数的图像也是颇为重要，甚至可以说能够让我们的问题变得更简单一些，以下列两种情况为例。

第一，是在二次函数当中的作用。二次函数虽然在整个高中教材当中没有明确的出现，但是在学习了函数的单调性、奇偶性等性质后，二次函数就成了一个“隐身”的不可回避的大热门，成了经常考察的题型，尤其是含有参数的二次函数，包括动区间定对称轴、定区间动对称轴、动区间动对称轴等。虽然解这些问题的时候也是函数单调性、奇偶性等性质的运用，但往往这些问题都包含多种情况，而且随参数而变化，会出现多种不同的结果，如果只是从代数上来讲解，学生通常比较难理解，要注意把图像展示出来，更要把多种情况用大致的图像展现出来，避免学生单纯在代数关系上苦苦思索，利用几何的直观性可以更好地说明问题。

就以动区间定对称轴求最值为例，如f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t，t+1]，t∈R)的最大值和最小值，只要根据图像先求出对称轴x=1，然后指导学生思考动区间与对称轴的关系，利用图像便可以发现存在4种情况，即对称轴位于区间左边（t ≥1），位于区间里面，包括区间中点以左即左半区间（t <1≤t+1/2 ），区间中点以右即右半区间（t+1/2<1≤t+1），还有位于区间右边（t+1≤ 1），然后再根据这4种情况进行最值的分析。如果不通过图像，要直接分类出这4种情况，需要学生拥有一定的基础能力，而且要有很清晰地逻辑思维能力，而利用图像来分析，对学生的要求就降低了一些，只需要学生能根据图像结合对称轴做出分类。

第二，注意在函数与方程中的运用，也就是关于根与零点的问题方面的作用。函数与方程指的是把方程的根与函数的零点联系起来，利用两者的对接，来处理根或者零点的个数、分布、区间、存在等等方面的问题，尤其是含有参数的题目，更是热门的考点，既包括单纯的求零点个数、是否存在零点，也包括已知零点的有关情况然后求参数取值范围等问题。这里面当然离不开函数的图像了，只要画出图像，我们可以清晰地看清楚有几个零点、在哪些区间、最值是多少等相关属性，可以更好地让我们来分析问题。

如果是含参二次函数的话，只需要结合图像，再根据二次函数的对称轴，二次方程的判别式，区间零点存在定理，灵活地进行分析，全面地划分各种情况，每种情况在根据具体的图像来分析细节。当然根据函数或者方程的复杂程度，分类的情况可能没有统一的个数，但是总的来说，在分类的时候，基本还是以方程在区间上是否有根、只有一个根包括重根与非重根、有两个相异的根这三个大方向来划分，每一个方向都有需要满足的条件，只要结合相应的图像就可以分析出来。

例如，已知一个含参数的二次函数f(x)=2ax2+2x-3-a在区间[-1，1]上有零点，求参数a的取值范围。这是一个典型的题目，也是曾经的高考热门题目。只要学生对根的分布有一定的基础，即可以在分析参数a是否为零之后，根据方程的根的情况来分类，包括在区间上只有一个根（即需f(-1) *f(1)≤0）、是重根（即需判别式  =0）、有两个相异的实数根（即需a>0、对称轴|-1/2a|<1、            >0 、f(1)≥0、f(-1) ≥0或者a<0、对称轴|-1/2a|<1 、 >0 、f(1)≤0、f(-1) ≤ 0）等三种情况进行分析讨论，有了这三个主线索，那么解题的基本框架就可以确定了，剩下的只是各种大情况里面的分析和计算。假如不借助图像的特点，纯粹地从代数上来根据参数去分类，很容易忽略掉期中的某种情形或者出现分类上的错误，利用图像不仅可以更有效率，还可以使得计算过程避免出现上述的错误。

如果是“非常规函数”，即不是纯粹的一次或二次函数，而是包含普通函数和初等函数如对数函数等，结合成一个相对较复杂的含有参数的函数，对于这种类型的一般先对方程进行变量分离，一边只剩下参数，另一边就包括普通函数和出等函数等，两边相等，然后通过画出两者的图像进行观察，找出图像交点即我们所需的零点，进而进行分析讨论。

例如，求一个含参数的“非常规函数”f(x)=ex-x ln x-ax-1在定义域上是否存在零点，有几个零点。先把这个函数分离成y=a和y=(ex-1-xlnx)／x，然后对后者进行单调性分析，确定大概的图像，再根据它的图像来对参数a进行分类讨论，结合两个函数的图像寻找交点的个数即可。这种题目也是比较经典的题型，如果不利用图像交点来判断零点个数的话，纯粹代数的方法是将会使得计算过程十分复杂困难。

通过上述所举的两大类型，我们可以清楚地看到函数图像对于函数的巨大作用，同时，我们也发现只要是跟函数的单调性、单调区间、最大最小值、极大极小值等有关联，都离不开用函数的图像，都可以用图像来研究问题。因此除了纯粹函数的题目之外，对综合型的题目如函数与不等式等类型，只要是需要用到函数的最值或者单调性等相关知识的，函数的图像都有它自己独特的功用。

总之，函数的图像对函数的研究和学习十分的重要，是函数不可分割的一部分，更是函数核心性质属性的集中体现，也是我们解题过程中的一个重要的工具。因此，我们在函数的课堂教学中，既要在学习函数新知识的时候用引导学生用图像研究函数的性质包括用借助图像去记忆函数额性质，让他们体会函数图像的好处，也要在习题讲解和方法总结地过程中不断地给学生强调图像的重要，不断地把用图像思考和研究的方法传授给学生，让他们在潜移默化中逐渐学会用函数图像来解答题目。